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Ce mois-ci, dans le numéro 1038 de Science & Vie, Nicolas Revoy nous présente un article très intéressant. On y parle de révolution mathématique, de "perfection atteinte". En effet, on assiste à un bel exploit puisque, pour la première fois, un cube magique parfait d'ordre 5 a été résolu, par un ingénieur en informatique du nom de Christian Boyer et un mathématicien répondant au doux nom de Walter Trump. Un cube magique parfait, kesako? C'est assez simple. Commençons en deux dimensions. Un carré magique est un tableau, carré, contenant des chiffres qui, additionnés selon une diagonale ou une ligne continue, donnent toujours le même résultat. En voici un exemple simple:
Dans ce carré, toutes les sommes (verticales, horizontales ou diagonales) font 34. Revenons à cette découverte. Sur la droite de la page, vous voyez ce fameux cube, présenté "tranche" par "tranche". Tout d'abord, ce carré est d'ordre 5. Cela signifie que ce cube est composé de 5 cases de hauteur, 5 cases de largeur et de 5 cases de profondeur. Il contient donc les nombres de 1 à 125. Son côté magique vient du fait que si l'on additionne les 5 valeurs composant n'importe laquelle des lignes, colonnes ou grandes diagonales du cube, on trouve toujours le chiffre 315. Imaginez remplir le carré de 4 x 4 plus haut, et voyez ensuite le travail titanesque pour résoudre ce cube de 5 x 5 x 5. Enfin, il est également dit parfait. Ceci car les sommes obtenues à partir des 30 petites diagonales des carrés parallèles aux faces du cube sont encore et toujours 315. Cette phrase est à coucher dehors. Elle explique finalement que chaque carré contenu dans le cube est un carré magique. C'est à devenir fou. Pour être exhaustif, c'est un total de 109 additions qui donnent toujours le même résultat. Au-delà du côté impressionnant pour le néophyte, cette découverte en est réellement une car nombreux sont les mathématiciens qui doutaient de l'existence même d'un tel objet. Des cubes d'ordres 7 et 8 avaient bien été résolus mais, comme le souligne Christian Boyer, plus un cube est petit, plus grande est la difficulté lors de sa résolution. L'informatique a évidemment pris une place importante dans cette découverte. En effet, le nombre de possibilités d'ordonnancement des nombres dans un tel cube est énorme. La méthode utilisée par les deux scientifiques aura fait la différence. Je ne vais pas vous conter plus loin cet article, qui mérite à lui seul l'achat de la revue Science & Vie de ce mois de mars. Vous y trouverez de nombreux détails sur la méthode utilisée par Christian Boyer et Walter Trump, ainsi que d'intéressantes explications sur d'autres constructions mathématiques. |
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Perfection mathématique, ou exploit informatique?
, le 20.03.2004 à 08:29
En fait, c'est totalement inutile, mais c'est tellement beau.
Merci de nous faire partager cette étonnante découverte.
, le 20.03.2004 à 08:39
Cela semble être un numéro intéressant de Science & Vie, je vais courir l'acheter.
Cependant, les mathématiciens étant des gens très précis : un cube a 6 faces, pas 5 (1er § après le carré de Dürer). Dans ce cas, il s'agit bien d'un cube, mais les 5 éléments de 5*5 n'en sont pas les faces
Bonne journée
, le 20.03.2004 à 08:44
Plus c'est petit plus c'est difficile? Je suis très fort, j'ai trouvé un cube de 1! Et sur six faces!
Hein? Non j'ai rien dit, je sors…
, le 20.03.2004 à 09:12
Heu…
La somme des nombres de la deuxième diagonale de la deuxième "tranche" du cube est :
70+60+21+39+116=306.
Boyer et Trump se seraient-ils trompés ???
(Je n'ose imaginer que cela pourrait être l'auteur de l'humeur – car les rédacteurs cukiens, à défaut d'être magiques, sont certainement parfaits).
Wilbur
, le 20.03.2004 à 09:30
ca a pas six cotés un cube?
Renaud
, le 20.03.2004 à 09:55
Salut à tous,
Je me suis sans doute mal exprimé… le dessin représente 5 "étages" du cube…
Wilbur,
hem… il se pourrait que je me sois trombé dans les chiffres, je vais vérifier
Voilà (rapide, hein?) il fallait écrire 69 à la place de 60, mea culpa…
Pour François,
En fait les cubes magiques parfait peuvent être de n'importe quel ordre. Les deux mêmes génies ont réussi à faire des cubes d'ordre 7 et 8. Cela dit, il semble que le cube d'ordre 5 soit le plus petit possible, exception faite du cube d'ordre 1. D'après d'autres mathématiciens, les cubes d'ordre 4, 3 et 2 ne sont pas possibles.
, le 20.03.2004 à 10:35
Si j'ai bien compris, un cube magique d'ordre 7, par exemple, aurait 7 étages, chacun formé par un tableau 7*7 ? Qu'on mettrait les uns derrière les autres, ou les uns au-dessus des autres, pour former le "cube" ? Effectivement, alors, le mot "face" est inapproprié. Peut-être le mot "tranche", ou "coupe"… Pas évident, je vais moi aussi acheter "Science et Vie" pour voir le vocabulaire.
Franck
, le 20.03.2004 à 12:16
Le mot "tranche" me semble bien adapté… et il y a trois façons de découper un cube en tranches, ce qui donne une idée de la complexité du problème.
Pour l'ordre 2, ça ne peut marcher pour la même raison qu'il ne saurait y avoir de carré magique d'ordre 2 : on doit en effet utiliser des entiers tous distincts, et l'égalité de la somme des nombre de chaque ligne, colonne et diagonale impose dans ce cas d'écrire plusieurs fois le même entier. Suis-je bien clair ??? :)
Wilbur
, le 20.03.2004 à 12:24
Impressionnant ! Merci Sébastien de nous avoir fait partager cette découverte.
Ceci m'a fait penser à une petite énigme que j'avais envie de vous poser. Puis, je me suis dit : des érudits comme les cukiens, ils doivent la connaître, tu vas passer pour un idiot… Allez, tant pis, je prends le risque ! Il y en a ne serait-ce qu'un parmi, qui ne la connaisse pas :
– Choisissez un chiffre entre 1 et 20
– Multipliez-le par 9
– Additionnez les 2 chiffres obtenus (dizaines + unités)
– Ajoutez 2
– Trouvez la lettre dont l'ordre dans l'alphabet correspond à votre
résultat final.
Vous y êtes ? Bon, alors maintenant :
Donnez-moi un nom de pays commençant par la lettre D et un des fruits cultivés dans ce pays et commençant par la letre K.
Ne cherchez pas, il n'y a pas de kiwi au Danemark !
, le 20.03.2004 à 12:26
Franck,
Tu as tout compris!
Wilbur et Franck,
Effectivement, le fait de parler de tranche serait plus approprié, je vais changer ça tout de suite dans l'humeur. Merci de vos critiques à ce sujet!
Concernant l'ordre 2, la raison que tu donnes, Wilbur, est sans doute l'une de celles qui prouvent l'impossibilité de la construction.
, le 20.03.2004 à 12:36
J'ai bien compris quant à moi, Wilbur. Supposons que le premier terme (en haut à gauche) de ton carré magique d'ordre 2 est 4 par exemple.
Et bien si tu veux que la somme des termes de la première ligne soit 7, de même que la somme des termes de la 1ère colonne, alors le 2ème terme de la 1ère ligne doit être 3, comme le 2ème terme de la 2ème colonne… Deux termes égaux, donc ce n'est pas un carré magique.
Bon, je me relis, et je vois que ce que j'ai écrit n'est pas clair comme de l'eau de roche… Ce serait bien plus simple si on pouvait faire un dessin d'explication !! Hélas, impossible ici.
Je me demande si je ne viens pas d'être ensorcelé par ces carrés et ces cubes magiques…
@+
, le 21.03.2004 à 11:01
Bonjour,
Le même article est paru dans La Recherche de ce mois-ci.
Tiens !
Un petit jeu "mathématique"
1
11
21
1211
3112
132112
311322
…
à vous de trouver la suite !
.
Avis aux français ; ALLEZ VOTER !
Alexis (ex duschmoll)
, le 21.03.2004 à 11:43
Alexis, ça a été vu sur les forums ;-)
Ici un petit programme fait par Nico et moi:
http://cuk.ch/articles/images/cunn/suite.php
Ici le topic sur le forum
http://forum.cuk.ch/viewtopic.php?t=698
a+
Noé Cuneo
, le 21.03.2004 à 11:53
Après les chiffres voici des lettres, bien carrées et bien magiques.
Le texte : “SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS”, traduit par : “Le laboureur Arepon conduit avec soin sa charrue” prend toute sa dimension lorsqu’il est inscrit en carré.
S A T O R
A R E P O
T E N E T
O P E R A
R O T A S
C'est pas bien nouveau mais c'est du bio, garanti 100 % sans ordinateur!
Bon dimanche,
et conduisez bien votre charrue pour la votation!